So wie Galaxien, so auch Städte

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Weekly Science Update – Übersetzt von Harald Horneff

Eine schematische Darstellung von Zipf’s Gesetz für Galaxien beziehungsweise Städte. Links ist eine simulierte Bevölkerungsverteilung mit dunkleren Punkten, die höhere Bevölkerungsdichten anzeigen; rechts, in pink, sind die Orte, an denen die Populationsdichte einen kritischen Wert überschreitet. Die Verteilung der rosafarbenen Cluster stimmt mit Zipf’s Gesetz überein.
Lin and Loeb, 2016

Im letzten Jahrhundert fiel dem Sprachwissenschaftler George Zipf auf, daß das im Englischen zweithäufigste benutzte Wort („of“) ungefähr halb so oft benutzt wurde wie das häufigste Wort („the“), das dritthäufigste Word („and“) etwa ein Drittel mal so oft wie das häufigste Wort und so weiter. Dieses eigentümliche Verhalten, daß die Häufigkeit eines jeden Worts umgekehrt proportional zu seiner Reihenfolge in der Wörterliste ist, wurde als Zipf’s Gesetz bekannt. Andere hatten dasselbe Verhalten für die Einwohnerzahl von Städten bemerkt. Beispielsweise hat die zweitbevölkerungsreichste Stadt die halbe Einwohnerzahl der bevölkerungsreichsten Stadt, die drittbevölkerungsreichste Stadt hat ein Drittel der Bevölkerung und so weiter. Forscher, die das Aufspüren von schwachen Signalen aus einem Hintergrundrauschen untersuchten, bemerkten einen ähnlichen Effekt, bei dem die meisten Systeme eine Geräuschkomponente besitzen, deren Intensität umgekehrt mit der Frequenz variiert, ein sogenanntes 1/f-Rauschen (rosa Rauschen). Theoretische statistische Untersuchungen haben viele weitere Fälle gefunden, bei denen Zipf’s Gesetz oder enge Näherungen aus quasi-zufälligen Verteilungen des betrachteten Elements folgen könnte, unabhängig davon, um was es sich handelt, seien es Worte oder Städte. Es gibt aber viele kleine Abweichungen von Zipf’s Gesetz und zu dessen Ursprung besteht in der Forschung kein Konsens.

Galaxien bilden sich, wenn die Dichte von Materie einen kritischen Wert überschreitet. Die CfA-Astronomen Henry Lin, Student in Harvard, und Avi Loeb bemerkten, daß, ähnlich Galaxien, auch Städte als etwas angesehen werden könnten, die entstehen, sobald ihre Bevölkerung einen kritischen Wert überschreitet, und je größer die Bevölkerungszahl, um so größer die Stadt. Da Zipf’s Gesetz auf die Sprachwissenschaft bezogen wurde, untersuchten sie, ob es auch auf Städte (Galaxien) anwendbar ist, und warum dies der Fall sein könnte. Anstatt ihre Aufmerksamkeit darauf zu richten, wie sich das Gesetz in besonderen Situationen ergibt, legen sie dar, daß es auf natürliche Weise in allen statistischen Systemen mit zwei wichtigen Eigenschaften auftritt: eine zweidimensionale Geometrie (sieht man Galaxien, sind diese auf eine zweidimensionale Ebene am Himmel projiziert) und ein räumliches Häufungsverhalten, das unabhängig von der Größe ist („Skaleninvarianz“), so daß eine kleine Region wie eine große Region aussieht. Lin und Loeb zeigen mathematisch, daß mit diesen beiden Eigenschaften ein Verhalten, wie es Zipf’s Gesetz beschreibt, ganz natürlich auftritt. (Selbstverständlich könnten für einige Systeme, wie Worte, verschiedene Gründe für die Bildung eines Gesetzes mit Zipf’scher Eigenschaft verantwortlich sein.) Die neue Theorie kann Zipf’s Gesetz herleiten und Dichtefluktuationen von Bevölkerungen erfolgreich vorhersagen.

Literatur:

„Zipf’s Law from Scale-Free Geometry“

Henry W. Lin and Abraham Loeb

PHYSICAL REVIEW E 93, 032306 (2016)